Question

【题目】已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点D的坐标为，点P在二次函数的图像上，∠ADP为锐角，且，请直接写出点P的横坐标；

（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称，过点O作的垂线，垂足为点N，ON与EC交于点M．若，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）点E的坐标为

【解析】

（1）根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴，当时,,可求点C的坐标为,根据三角形面积公式可求,进一步得到A点和B点的坐标分别为，，再用待定系数法即可求二次函数的解析式；

(2)作轴于点F.分两种情况:(ⅰ)当点P在直线AD的下方时;(ⅱ)当点P在直线AD的上方时,延长至点G使得,连接DG,作轴于点H,两种情况讨论可求点的坐标；

(3)连接,交CE于T.连接,根据三角函数的整数可得,同理,得到,从而得到点E的坐标.

（1）当x = 0时，，∴ ,

∵ ，∴ AB = 6,

又∵ 二次函数图像的对称轴是直线，

∴ ，,

∴ ，解得,

∴ 二次函数的解析式为,

（2）如图,作轴于点F.分两种情况:

(ⅰ)当点P在直线AD的下方时,如图所示,

由(1)得点,点,

∴DF=1，AF=2，

在Rt△ADF中，,,得.

延长DF与抛物线交于点,则点即为所求.

将x=-2代入抛物线解析式，得y=-4，

∴点的坐标为.

(ⅱ)当点P在直线AD的上方时,延长至点G使得,连接DG,作轴于点H,如图所示，在与中，

∴≌（AAS）.

,

又,

∴点G的坐标是

在中, ，，

设DG与抛物线的交点为,则点为所求.

作于点K,作交DK于点S.

设点的坐标为,

则,

.

由，,,得.

整理,得

解得.

点在第二象限,横坐标为负，

点的横坐标为

综上,P点的横坐标为或.

（3）如图，联结，交EC于点T，联结．

∵ 点O与点关于EC所在直线对称，

∴ ⊥EC，，．

∴ ⊥

又∵ ON⊥，∴ ∥ON．

∴ ．

∴ OC = OM

∴ CT = MT

在Rt△ETO中，∠ETO = 90°，．

在Rt△COE中，∠COE = 90°，．

∴

∴

同理可得

∴

∵ ，∴ OE = 8

∵ 点E在x轴的正半轴上

∴ 点E的坐标为．