Question

在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE．
（1）若对角线AC=BD=a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值；
（2）若AC=m，BD=n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE可以证明四边形EFGH为平行四边形，设GH为x，GF为y，AH=p，BH=q，然后利用平行线分线段成比例可以得到即

AH

AB

=

GH

BD

，

BH

AB

=

HE

AC

，即

q

p+q

=

y

a

，

p

p+q

=

x

a

，然后即可求出x+y，也就求出了四边形EFGH的周长，最后就证明了四边形EFGH的周长是定值；
（2）利用（1）中的结论，根据AC=m，BD=n，求出x+y，然后利用图形的性质讨论即可得到结论．

解答：解：（1）∵EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE
∴四边形EFGH是平行四边形，
设GH为x，GF为y，AH=p，BH=q
∵GH∥BD，BD=a
∴

AH

AB

=

GH

BD

，
即

p

p+q

=

x

a

，
∵HE∥AC，AC=a
∴

BH

AB

=

HE

AC

，
即

q

p+q

=

y

a

，
∴x+y=

a(p+q)

p+q

=a，
故四边形EFGH的周长=2（x+y）=2a；

（2）∵AC=m，BD=n，
则有

y

m

=

p

p+q

，

x

n

=

q

p+q

，
∴x+y=

pm+qn

p+q

=

p q m+n

p q +1

，
∵m、n为确定的值，H是AB上的动点，

p

q

是变量，
而x+y随

p

q

的变化而变化，
∴x+y不能确定，即四边形EFGH的周长不是定值．

点评：此题比较复杂，要分类讨论，主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错误答案．