Question

【题目】已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且．

（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；

（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）α+β+θ =180°

【解析】

（1）根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到∠EDF＝∠HDG，然后利用外角的性质等量代换求证；

（2）利用外角性质及圆内接四边形对角互补求解.

（1） 连接DF、DG

∵BD是⊙O的直径

∴∠DFB＝∠DGB =90°，

∵

∴∠EDF＝∠HDG，

∵∠DFB＝∠EDF+∠A

∠DGB＝∠HDG+∠C，

∴∠A＝∠C

（2）

连接DF,BH

∵

∴∠ADF=∠HBG=θ

又∵∠DFB=∠A+∠ADF,∠DHB=∠C+∠HBG

∴∠DFB+∠DHB=∠A+∠ADF+∠C+∠HBG

根据圆内接四边形对角互补，可得

∴α+β+θ =180°