Question

已知抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OB=OC，tan∠ACO=，顶点为D．
（1）求点A的坐标．
（2）求直线CD与x轴的交点E的坐标．
（3）在此抛物线上是否存在一点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点M（2，y）是此抛物线上一点，点N是直线AM上方的抛物线上一动点，当点N运动到什么位置时，四边形ABMN的面积S最大？请求出此时S的最大值和点N的坐标．
（5）点P为此抛物线对称轴上一动点，若以点P为圆心的圆与（4）中的直线AM及x轴同时相切，则此时点P的坐标为______．

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=，OC=6，
∴OA=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵OB=OC，
∴OB=3，
∴B（3，0），
由题意，得，
解得，
∴y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴D（1，8），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线CD的解析式为y=2x+6，
∴点E的坐标为E（-3，0）；

（3）假设存在以点A、C、F、E为顶点的平行四边形，
当AE为平行四边形的边时，F₁（2，6），F₂（-2，6），
当AE为平行四边形的对角线时，F₃（-4，-6），
经验证，只有点（2，6）在抛物线y=-2x²+4x+6上，
∴F（2，6）；

（4）如图，作NQ∥y轴交AM于点Q，
设N（m，-2m²+4m+6），
当x=2时，y=6，
∴M（2，6），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AM的解析式为y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m²+4m+6-（2m+2）=-2m²+2m+4，
∵S_△ABM=×4×6=12，
∴S=S_△ABM+S_△AMN=12+S_△ANQ+S_△MNQ，
=12+×3×（-2m²+2m+4），
=-3m²+3m+18，
=-3（m-）²+，
∴当m=时，S的最大值为，
当m=时，y=-2x²+4x+6=-2×+4×+6=，
∴N（，）；

（5）设直线AM与对称轴相交于点E，
则y=2×1+2=4，
∴点E的坐标是（1，4），
∴AE==2，
设圆的半径为r，
①圆心在x轴上方时，=，
解得r=-1，
∴点P的坐标为（1，-1），
②圆心在x轴的下方时，=，
解得r=+1，
∴点P的坐标为（1，--1），
综上所述，点P的坐标为（1，-1）或（1，--1）．
分析：（1）先令x=0求出点C的坐标，再利用三角函数值求出求出OA的值，从而得到点A的坐标；
（2）求出OB的长度，得到点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标D，再用待定系数法求出直线CD的解析式，就可以求出直线CD与x轴的交点E的坐标；
（3）根据AE是以点A、C、F、E为顶点的平行四边形的边或对角线可以求出对应F的坐标有3个，将三个坐标代入抛物线的解析式检验就可以确定在抛物线上的点F；
（4）过点N作NQ∥x轴交AM于点Q，根据抛物线的解析式设出点M的坐标，并求出点N的坐标，然后求出直线AM的解析式，再根据解析式以及点N的坐标设出点Q的坐标，然后表示出ABMN的面积S，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（5）先求出直线AM与抛物线对称轴的交点E的坐标，利用勾股定理求出AE的长度，然后分①圆心在x轴上方②圆心在x轴的下方两种情况，根据相似三角形对应边成比例求出圆的半径r，写出点P的坐标即可．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．