Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=-

1

3

x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式和E点坐标；
（2）求∠DBC-∠CBE的大小；
（3）点F是抛物线第四象限上的点，问四边形OBFC面积最大值为多少？并求此时的点F坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx-3与y轴交点为（0，-3），求出C（0，-3），再根据OB=OC=3OA，求出A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），利用待定系数法求出函数解析式．
（2）作EG⊥CO于G，连CE，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，则△CBE是直角三角形．分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义，得到tanα=

OD

OB

=

1

3

；tanβ=

CE

BC

=

2

3 2

=

1

3

；判断出则α=β，求出∠DBC-∠CBE=45°．
（3）将S_{四边形OCFB}=转化为S_△OCF与S_△OBF的和，设出F坐标，利用面积公式将面积转化为二次函数求最值．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3与y轴交点为（0，-3），
又∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
将A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²+bx-3得，

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

，
故函数解析式为y=x²-2x-3，
配方得y=（x-1）²-4，
可得，E（1，-4）．

（2）如图1，作EG⊥CO于G，连CE，易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形，
则△CBE是直角三角形．
分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义，
即有tanα=

OD

OB

=

1

3

；tanβ=

CE

BC

=

2

3 2

=

1

3

；
则α=β，从而可得∠DBC-∠CBE=45°．

（3）作FH⊥x轴于H，FK⊥y轴于K，设F点坐标为（x，x²-2x-3），
S_{四边形OCFB}=S_△OCF+S_△OBF=

1

2

×3x+

1

2

×3x[-（x²-2x-3）]=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

，面积最大值为

63

8

．
此时，x²-2x-3=

9

4

-2×

3

2

-3=-

15

4

，
故F（

3

2

，-

15

4

）．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、图象、一次函数的性质和图象，二次函数的最值等，有较大难度．