Question

已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，
（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；
②证明：AE⊥BF；
（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图2），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论，
（2）根据正方形性质及已知条件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案．

解答：解：（1）延长AE交BF于点M．
①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；
②证明：根据正方形的性质，
在△BAE和△CBF中，
∵

AB=BC ∠ABE=∠BCF=45° BE=CF

，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
根据外角性质，∠AFB=∠BCF+∠CBF=45°+∠CBF，
又∵∠FAM=45°-∠BAE，
∴∠AMF=180°-（∠FAM+∠AFM）=180°-（45°+∠CBF+45°-∠BAE）=90°，
∴AE⊥BF；

（2）当AE⊥BF时，点E在BO中点．证明如下：
延长AE交BF于点M，如图所示：
∵∠BME=∠AOE，∠BEM=∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴

BE

AE

=

EM

EO

=

BM

AO

，
即AO=

AE•BM

BE

=

EO•BM

EM

，
∵∠MBE=∠OBF，∠BME=∠BOF，
∴△BEM∽△BFO，
∴

BM

BO

=

BE

BF

=

EM

FO

，
即BO=

BM•BF

BE

=

BE•OF

EM

，
∵AO=BO，BE=OF，
∴BE=EO，
故当AE⊥BF时，点E在BO中点．

点评：本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定及性质，比较综合，难度较大．