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    20．定义：如图1，D，E在△ABC的边BC上，若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌，△ADE叫做△ABC的内嵌三角形．
    （1）直角三角形不一定可内嵌．（填写“一定”、“一定不”或“不一定”）
    （2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，△ADE是△ABC的内嵌三角形，试说明AB2=BD•BC是否成立？如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．
    （3）在（2）的条件下，如果AB=1，AC=2，求△ABC的内嵌△ADE的边长 

    分析 （1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，所以直角三角形不一定可内嵌．
    （2）根据三角形相似的判定方法，判断出△BDA∽△BAC，即可推得AB2=BD•BC．
    （3）根据△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，判断出△BDA∽△AEC，求出DE、CE和x的关系，求出△ABC的内嵌△ADE的边长是多少即可．

    解答 解：（1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，
    ∴直角三角形不一定可内嵌．

    （2）∵△ADE是△ABC的内嵌三角形，
    ∴△ADE是正三角形，
    ∴∠ADE=60°，
    在△ADB和△BAC中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BAC=120°}\\{∠B=∠B}\end{array}\right.$
    ∴△BDA∽△BAC，
    ∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
    即AB2=BD•BC．

    （3）设BD=x，
    ∵△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，
    ∴△BDA∽△AEC，
    ∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{AE}$，
    ∴$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{DE}$，
    即DE=2x，
    同理CE=4x，
    ∴12=x﹒7x，
    ∴7x2=1，
    解得x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
    ∴DE=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
    ∴△ABC的内嵌△ADE的边长是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
    故答案为：不一定．

    点评 此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

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