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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AD+AB=14,(AB>AD)BD=10,BD=DC,E、F分别是精英家教网BC、CD上的点,且CE+CF=4.
(1)求BC的长;
(2)设EC的长为x,四边形AEFD的面积为y,求y关于x的函数关系式.
分析:(1)由已知,∠BAD=90°,AD+AB=14,根据勾股定理可求出AD和AB,再过点D作DG⊥BC与G,则由已知梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,得BG=AD,又BD=DC,所以得CG=BG,从而求出BC的长.
(2)由已知可以用x表示出梯形AECD的面积,另已知设EC=x,则CF=4-x,在直角三角形DEB中,能求出sin∠DBE,又BD=DC,则能求出sin∠C,所以用x可表示出三角形CEF的面积,那么四边形AEFD的面积等于梯形AECD的面积-三角形CEF的面积,从而求出y关于x的函数关系式.
解答:精英家教网解:(1)设直角三角形BAD的一直角边为x,则另一直角边为14-x,根据勾股定理得:
x2+(14-x)2=102
化简得:x2-14x+48=0,
即(x-6)(x-8)=0,
∴x=6或x=8,
∵已知AB>AD,
∴AB=8,AD=6,
再过点D作DG⊥BC与G,
∵已知梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90°,
∴四边形ABGD是矩形,
∴BG=AD=6,DG=AB=8,
又BD=DC(已知),
∴三角形BDC是等腰三角形,
已作DG⊥BC与G,
∴CG=BG=6(等腰三角形的性质),
所以得:BC=BG+CG=6+6=12;

(2)∵AD∥BC,
∴四边形AECD为梯形且与梯形ABCD同高,
∴梯形AECD的面积为:
1
2
(x+6)•8=4x+24,
在直角三角形BGD中,sin∠DBG=
DG
BD
=
8
10
=
4
5

又BD=DC,
∴△BDC为等腰三角形,
∴sinC=sin∠DBG=
4
5

已知设EC=x,CE+CF=4,则CF=4-x,
∴△CEF的面积为:
1
2
x•(4-x)sinC=
1
2
x•(4-x)•
4
5
=
8
5
x-
2
5
x2
则四边形AEFD的面积为y=梯形AECD的面积-△CEF的面积
=4x+24-(
8
5
x-
2
5
x2)=
2
5
x2+
12
5
x+24,
所以y关于x的函数关系式为:y=
2
5
x2+
12
5
x=24.
点评:此题考查了学生对直角梯形、等腰三角形的性质及勾股定理几何综合题的解题能力,解题的关键是:
(1)根据勾股定理可求出AD和AB,再过点D作DG⊥BC与G,得出BG和CG,从而求出BC的长.
(2)求出梯形AECD的面积,再求出△CEF的面积,二者之差就是四边形AEFD的面积,从而求出y关于x的函数关系式.
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=
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