Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标为（8、0），tan∠ABC=

1

2

，△ABC的面积为8，
（1）求：抛物线的解析式；
（2）若动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向X轴方向平移，与x轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点．动点P同时从B点出发在线段OB上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，运动到O点结束，连接FP，设运动时间为t秒，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，设AC与EF交于点M，求当t为何值时，M、P、A、F所围成的图形是平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形？

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由于B点坐标为（8、0），tan∠ABC=

1

2

，由此可以求出OC的长度，也就求出C的坐标，又△ABC的面积为8，由此可以求出线段AB的长度，然后就可以求出A的坐标，最后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）存在，首先可以分别求出BA、AC、BC的长度，同时也可以用t分别表示BP、BF的长度，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（3）根据（2）MF∥AP，同时BP=2t，BF=4

5

-

5

t，那么AP也可以用t表示，然后分别利用平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形的性质即可的关于t的方程解决问题．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵B点坐标为（8、0），tan∠ABC=

1

2

，
∴OB=8，
而tan∠ABC=

OC

OB

=

1

2

，
∴OC=4，
∴C（0，4），
又∵△ABC的面积为8，
∴8=

1

2

×4×AB，
∴AB=4，即OA=OB-AB=8-4=4，
∴A（4，0），
依题意得

0=16a+4b+c 0=64a+8b+c 4=c

，
解之得：a=

1

8

，b=-

3

2

，c=4，
∴y=

1

8

x2-

3

2

x+4；

（2）存在，根据（1）得BA=4，AC=4

2

，BC=4

5

，
依题意得：BP=2t，
∵CE=t，tan∠ABC=

1

2

，
∴EF=2t，∴CF=

5

t，
∴BF=4

5

-

5

t
由△BPF∽△BAC得

4 5 - 5 t

4 5

=

2t

4

，得t₁=

4

3

由△BPF∽△BCA得

4 5 - 5 t

4

=

2t

4 5

化简，t2=

20

7

所以：t₁=

4

3

，t2=

20

7

；

（3）根据（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向x轴方向平移，与x轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t，
∴MF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=

4

3

；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形，那么AM=PF，
∴t=

12

5

，
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=2．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式、相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质、等腰梯形、等腰直角三角形的性质和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．