Question

（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

Answer 1

分析：（1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CMD，可得DM=DN；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；
（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考；
②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考．

解答：（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如答图1所示，连接CD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CMD中，

∠1=∠2 AD=CD ∠A=∠DCM=45°

∴△AND≌△CMD（ASA），
∴DM=DN．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED与△DFM中，

∠4=∠3 DN=DM ∠1=∠5

∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．
证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，
∴

DE

MF

=

EN

DF

，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴

AE

MF

=

EN

BF

，即MF•EN=AE•BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，
∴DQ=PC=PB．
易证△DMF∽△NDE，∴

DF

NE

=

DM

DN

，
易证△DMP∽△DNQ，∴

DM

DN

=

DP

DQ

=

DP

PB

，
∴

DF

NE

=

DP

PB

；
易证△AEN∽△DPB，∴

AE

NE

=

DP

PB

，
∴

DF

NE

=

AE

NE

，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．
证法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD）
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．
证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

易证△AQD∽△DPB，得

DQ

PB

=

AD

BD

=

1

k

，即PB=kDQ．
由①同理可得：

DM

DN

=

DP

DQ

=

DF

NE

，
∴

DF

NE

=

kDP

PB

；
又∵

AE

NE

=

DP

PB

，
∴

DF

NE

=

kAE

NE

，
∴DF=kAE．

点评：本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想．