Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．
（1）求k的值．
（2）求平移后的直线的函数解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（m，2）在直线y=2x，

∴2=2m，

∴m=1，

∴点A（1，2），

∵点A（1，2）在反比例函数y= 上，

∴k=2

（2）解：方法一、如图，

设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴

由（1）知，A（1，2），

∴OA= ，sin∠BON=sin∠AOC= = ，

∵S△POA= OA×PM= × PM=2，

∴PM= ，

∵PM⊥OA，BN⊥OA，

∴PM∥BN，

∵PB∥OA，

∴四边形BPMN是平行四边形，

∴BN=PM= ，

∵sin∠BON= = = ，

∴OB=4，

∵PB∥AO，

∴B（0，﹣4），

∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x﹣4，

方法二、如图1，过点P作PC⊥y轴交OA于C，

设点P的坐标为（n， ）（n＞1），

∴C（ ， ），∴PC=n﹣ ，

∵△POA的面积为2．A（1，2）

∴S△POA=S△PCO+S△PCA

= （n﹣ ）× + （n﹣ ）（2﹣ ）

= （n﹣ ）×2

=n﹣

=2，

∴n=1﹣ （舍）或n=1+ ，

∴P（1+ ，2 ﹣2）

∴PB∥AO，

∴设直线PB的解析式为y=2x+b，

∵点P在直线PB上，

∴2 ﹣2=2（1+ ）+b，

∴b=﹣4，

∴平移后的直线PB的函数解析式y=2x﹣4，

【解析】（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；（2）方法一、先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．方法二、先设出点P的坐标，利用△POA的面积为2．建立方程求出点P的坐标，即可得出结论．