Question

【题目】已知∠ACB=90°，∠CAB=a，且sina=，I为内心，则△ABC的内切圆半径r与△BIC的外接圆半径R之比为（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

作ID⊥AC于D，△CIB外接圆的圆心为O，作OE⊥BC于E，交直线ID于F，连接OC，求出直角三角形ABC的内切圆半径，由勾股定理得出方程，求出△BIC的外接圆半径R，即可得出结果．

作ID⊥AC于D，△CIB外接圆的圆心为O，作OE⊥BC于E，交直线ID于F，连接OC，如图所示：

∵∠ACB=90°，∠CAB=a，且sina=，

设AB=5b，BC=4b，则AC=3b，

∴△ABC的内切圆的半径，

∵I是Rt△ABC的内心，

∴CD=ID=CG=b，

∵OE⊥BC，

∴CE=BE=BC=2b，

易得四边形CDFE为矩形，

∴EF=CD=b，DF=CE=2b，

∴IF=2b-b=b，

设OE=x，⊙O的半径为R，则OF=x+b，OC=OI=R，

在Rt△OCE中，x+（2b）=R①，

在Rt△OIF中，（x+b）+b=R②，

②-①得：2ax=2a，解得x=a，

∴

∴△ABC的内切圆半径r与△BIC的外接圆半径R之比=；

故选：B．