Question

如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．
（1）填空：PD的长为

3

2

t

用含t的代数式表示）；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由三角形AOB是等边三角形可以得出OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°，由PD⊥OB就可以得出∠PDO=90°，再通过解直角三角形就可以用t把PD表示出来．
（2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，可得△PCE∽△BPD，利用三角形相似的性质就可以CE和PE的值，从而可以表示出C的坐标．
（3）在P的移动过程中使△PCA为直角三角形分两种情况，当∠PCA=90°或∠PAC=90°时就可以求出相对应的t值
（4）射出C点的坐标，表示出坐标的函数关系式确定C的运动轨迹的图象为线段，再根据条件就可以求出起点的坐标和终点的坐标，运用两点间的距离公式就可以求出其值．

解答：解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，
∴∠PDO=90°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=

1

2

OP．
∵OP=t，
∴OD=

1

2

t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得
PD=

3

2

t
故答案为：

3

2

t

（2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，
∴∠PEC=90°，
∵OD=

1

2

t，
∴BD=4-

1

2

t．
∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，
∴∠BPC=60°．
∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．
∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴

CE

PD

=

PC

PB

，

PE

BD

=

PC

PB

∴

CE

3 2 t

=

1

2

，

PE

4- 1 2 t

=

1

2

，
∴CE=

3

4

t，PE=2-

1

4

t，OE=2+

3

4

t，
∴C（2+

3

4

t，

3

4

t）．

（3）如图（3）当∠PCA=90度时，作CF⊥PA，
∴△PCF∽△ACF，
∴

PF

CF

=

CF

AF

，
∴CF²=PF•AF，
∵PF=2-

1

4

t，AF=4-OF=2-

3

4

t CF=

3

4

t，
∴（

3

4

t）²=（2-

1

4

t）（2-

3

4

t），
求得t=2，这时P是OA的中点．
如图（2）当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4，
∴2+

3

4

t=4
∴t=

8

3

（4）设C（x，y），
∴x=2+

3

4

t，y=

3

4

t，
∴y=

3

3

x-

8 3

3

，
∴C点的运动痕迹是一条线段（0≤t≤4）．
当t=0时，C₁（2，0），
当t=4时，C₂（5，

3

），
∴由两点间的距离公式得：C₁C₂=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，两点间的距离公式的运用．