分析 (1)利用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式,进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可;
(3)①先判断出要以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形,只有EF为对角线,利用中点坐标公式建立方程即可;
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=$\frac{1}{2}$AM,连接CP交圆E于M,再求出点P的坐标即可得出结论.
解答 解:(1)∵点A(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=-4}\\{c=4}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=4}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+4;
(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{-4k+n=-4}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=4}\end{array}\right.$,
∴直线AB的解析式为y=2x+4,
设E(m,2m+4),
∴G(m,-m2-2m+4),
∵四边形GEOB是平行四边形,
∴EG=OB=4,
∴-(-m2-2m+4-2m-4)=4,
∴m=-2
∴G(-2,4).
(3)①如图1,
由(2)知,直线AB的解析式为y=2x+4,
∴设E(a,2a+4),
∵直线AC:y=-$\frac{1}{2}$x-6,
∴F(a,-$\frac{1}{2}$a-6),
设H(0,p),
∵以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形,
∵直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC:y=-$\frac{1}{2}$x-6,
∴AB⊥AC,
∴EF为对角线,
∴$\frac{1}{2}$(-4+0)=$\frac{1}{2}$(a+a),$\frac{1}{2}$(-4+p)=$\frac{1}{2}$(2a+4-$\frac{1}{2}$a-6),
∴a=-2,P=-1,
∴E(-2,0).H(0,-1);
②如图2,
由①知,E(-2,0),H(0,-1),A(-4,-4),
∴EH=$\sqrt{5}$,AE=2$\sqrt{5}$,
设AE交⊙E于G,取EG的中点P,
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
连接PC交⊙E于M,连接EM,
∴EM=EH=$\sqrt{5}$,
∴$\frac{PE}{ME}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$,
∵$\frac{ME}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{PE}{ME}=\frac{ME}{AE}$=$\frac{1}{2}$,∵∠PEM=∠MEA,
∴△PEM∽△MEA,
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{ME}{AE}=\frac{1}{2}$,
∴PM=$\frac{1}{2}$AM,
∴$\frac{1}{2}$AM+CM的最小值=PC,
设点P(p,2p+4),
∵E(-2,0),
∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,
∵PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴5(p+2)2=$\frac{5}{4}$,
∴p=-$\frac{5}{2}$或p=-$\frac{3}{2}$(由于E(-2,0),所以舍去),
∴P(-$\frac{5}{2}$,-1),
∵C(0,-6),
∴PC=$\sqrt{(-\frac{5}{2})^{2}+(-1+6)^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$,
即:$\frac{1}{2}$AM+CM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$.
点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,平行四边形的性质,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,中点坐标公式,极值的确定,解(1)的关键是掌握待定系数法,解(2)的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解,解(3)①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解,解(3)②的关键是构造相似三角形,是一道中等难度的题目.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | -3 | -4 | -3 | 0 | -3 | … |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -2017 | B. | c | C. | 0 | D. | c-2017 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 10.61 | B. | 10.52 | C. | 9.87 | D. | 9.37 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{10}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
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