Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A与点B的坐标；

（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．

（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）M（4，7）；﹣2≤m≤4；（3）点P的坐标为P（﹣1，4）或（﹣1，）．

【解析】

（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3,即可求解;

（2）分∠MAO=45°,∠M′AO=45°两种情况,分别求解即可;

（3）分当BD是矩形的边, BD是矩形的边两种情况,分别求解即可．

（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,则x＝1或﹣3,

故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）,（1，0）;

（2）抛物线的表达式为:y＝（x+3）（x﹣1）①,

当∠MAO＝45°时,如图所示,则直线AM的表达式为:y＝x②,

联立①②并解得:m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3）,故点M（4,7）;

②∠M′AO＝45°时,

同理可得:点M（﹣2,﹣1）;

故:﹣2≤m≤4;

（3）①当BD是矩形的对角线时,如图2所示,

过点Q作x轴的平行线EF,过点B作BE⊥EF,过点D作DF⊥EF,

抛物线的表达式为:y＝ax2+2ax﹣3a,函数的对称轴为:x＝1,

抛物线点A、B的坐标分别为:（﹣3,0）、（1，0）,则点P的横坐标为:1,OB＝1,

而CD＝4BC,则点D的横坐标为：﹣4,故点D（﹣4,5a）,即HD＝5a,

线段BD的中点K的横坐标为:,则点Q的横坐标为:﹣2,

则点Q（﹣2,﹣3a）,则HF＝BE＝3a,

∵∠DQF+∠BQE＝90°,∠BQE+∠QBE＝90°,

∴∠QBE＝∠DQF,

∴△DFQ∽△QEB,则,,解得:a＝（舍去负值）,

同理△PGB≌△DFQ（AAS）,

∴PG＝DF＝8a＝4,故点P（﹣1,4）;

②如图3,当BD是矩形的边时,

作DI⊥x轴,QN⊥x轴,过点P作PL⊥DI于点L,

同理△PLD≌△BNQ（AAS）,

∴BN＝PL＝3,

∴点Q的横坐标为4,则点Q（4,21a）,

则QN＝DL＝21a,同理△PLD∽△DIB,

∴,即,解得:a＝（舍去负值），

LI＝26a＝,故点P（﹣1, ）;

综上,点P的坐标为:P（﹣1,4）或（﹣1, ）．