Question

如图所示，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．求证：
（1）△ADE≌△CDE；
（2）若点H是FG上的中点，连接EC和CH，求证：CH⊥CE．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；

（2）证明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠1=∠2，
∵在Rt△FCG中，点H是FG上的中点，
∴CH=FG=GH，
∴∠4=∠G，
∵AD∥BG，
∴∠1=∠G，
∴∠4=∠1，
∵∠2=∠1，
∴∠4=∠2，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴EC⊥CH．
分析：（1）首先根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，再有DE是公共边，可以利用SAS判定△ADE和△CDE全等；
（2）根据全等三角形的性质可以证出∠1=∠2，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证出CH=HG，进而根据等边对等角证出∠G=∠4，再利用AD∥BG可以得到∠1=∠G，再利用等量代换可得到∠2=∠4，然后由∠4+∠3=90°，可得∠2+∠3=90°，即可以证出EC⊥CH．
点评：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，此题的难点是证明EC⊥CH，解决问题的突破口是证明∠2=∠4．