Question

15．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的边AB在x轴上，顶点F在y轴上，点M是BC的中点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象经过点M，且与正六边形交于另一点N，则点N的坐标是（　　）

• A． （$\frac{7}{4}\sqrt{3}，4$）
• B． （$\frac{7}{4}，4\sqrt{3}$）
• C． （2$\sqrt{2}-1，2\sqrt{6}+\sqrt{3}$）
• D． （2$\sqrt{2}+1，2\sqrt{6}-\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 利用正六边形的性质结合锐角三角函数关系得出M，F，E点的坐标，再利用直线与反比例函数交点求法得出N点坐标．

解答 解：过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NG⊥y轴于点G，
∵边长为4的正六边形ABCDEF的边AB在x轴上，顶点F在y轴上，点M是BC的中点，
∴BM=2，∠GFN=30°，∠BMF=60°，∠OFA=30°，
∴GN=$\frac{1}{2}$FN，BF=$\frac{1}{2}$BM=1，AO=$\frac{1}{2}$AF=2，MF=$\sqrt{3}$，FO=2$\sqrt{3}$，E（2，4$\sqrt{3}$），F（0，2$\sqrt{3}$），
∴M（7，$\sqrt{3}$），
∴k=7$\sqrt{3}$，
则反比例函数解析式为：y=$\frac{7\sqrt{3}}{x}$，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{2a+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为：y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
故$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{x}$，
解得：x₁=-1+2$\sqrt{2}$，x₂=-1-2$\sqrt{2}$（不合题意舍去），
∴N点横坐标为：-1+2$\sqrt{2}$，
∴N点纵坐标为：y=$\frac{7\sqrt{3}}{-1+2\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了正多边形与圆以及反比例函数与一次函数应用，正确得出M点坐标是解题关键．