Question

8．在矩形ABCD中，E是对角线AC上的一点，F是CD上的一点，CG⊥EF，交EF的延长线于点G，∠GEC=$\frac{1}{2}$∠DAC．
（1）若AB=BC（如图①），求证：△EGC∽△CGF；
（2）若AB=$\frac{2}{3}$BC（如图②），试探究线段CG与EF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，AB=BC，得到四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质得到∠DAC=∠ACD=45°，根据已知条件求得∠GEC=22.5°，求得∠GEC=∠FCG，即可得到结论；
（2）延长CG到K，使GK=CG，连接EK交CD于H，根据线段垂直平分线的性质得到EK=EC，根据等腰三角形的性质得到∠KEC=2∠GEC，求得AD∥KE，推出△CHE∽△CDA，根据相似三角形的性质得到$\frac{EH}{CH}=\frac{AD}{CD}$，根据矩形的性质得到BC=AD．CD=AB，求出$\frac{EH}{CH}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{3}{2}$，通过△CKH∽△EFH，根据相似三角形的性质得到$\frac{EH}{CH}=\frac{EF}{CK}$=$\frac{3}{2}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠GEC=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∴∠GEC=22.5°，
∵∠G=90°，
∴∠ECG=67.5°，
∴∠FCG=22.5°，
∴∠GEC=∠FCG，
∵∠G=∠G，
∴△EGC∽△CGF；

（2）解：延长CG到K，使GK=CG，连接EK交CD于H，
∵EG⊥CG，
∴EK=EC，
∴∠KEC=2∠GEC，
∴∠DAC=∠KEC，
∴AD∥KE，
∴△CHE∽△CDA，
∴$\frac{EH}{CH}=\frac{AD}{CD}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD．CD=AB，
∵AB=$\frac{2}{3}$BC，
∴$\frac{EH}{CH}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{3}{2}$，
∵AD∥KE，
∴∠EHC=∠D=90°∴∠K=∠EFD，
∴△CKH∽△EFH，
∴$\frac{EH}{CH}=\frac{EF}{CK}$=$\frac{3}{2}$，
∵CK=2CG，
∴EF=3CG．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的周长辅助线是解题的关键．