Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A(-1，0)，B(1，1)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y=k2x+b2(k2，b2为常数，且k2≠0)，若l1⊥l2，则k1·k2=-1．

解决问题：

①若直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；

②是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+1．（2）①m=；②P(6，-14)或(4，-5)，（3）．

【解析】

试题分析：(1)把A(-1，0)，B(1，1)两点代入y=ax2+bx+1求解；(2)①根据k1·k2=-1计算；②先求出直线PA的表达式，从而可得与AB垂直的直线的k的值，然后分两种情况讨论：∠PAB=90°与∠PBA=90°，分别求出另一条直角边所在直线的表达式，与二次函数表达式联立方程组求解，得到点P的坐标；(3)△ABM的底边AB不变，当△ABM的面积取最大值时，点M到直线AB的距离有最大值，因此把问题转化为求△ABM的面积最大值问题，这样只要建立关于△ABM的面积的二次函数关系式，再化为顶点式即可．

试题解析：(1)根据题意得：解得∴y=x2+x+1．

(2)①3m=-1，∴m=；

②设PA的表达式为y=kx+c，过A(-1，0)，B(1，1)两点的直线表达式为，显然过点P的直角边与AB垂直，∴k=-2，∴y=-2x+c．

若∠PAB=90°，把 A(-1，0)代入得0=-2×(-1)+c，解得c=-2，∴y=-2x-2，点P是直线PA与抛物线的交点，联立方程组：解得 ∴P(6，-14)；

若∠PBA=90°，把B(1，1)代入y=-2x+c，得1=-2×1+c，解得c=3，∴y=-2x+3，点P是直线PB与抛物线的交点，联立方程组：解得 ∴P(4，-5)．

综上所述，存在点P(6，-14)或(4，-5)，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形．

(3)设M(n，n2+n+1)，过M作MQ∥y轴，交AB于点Q，则Q(n，)．

∴S△ABM=[(n2+n+1)-()]×[1-(-1)]= ．当n=0时，最大面积为，AB==，设点M到直线AB距离最大为h，则××h=，∴h=．即点M到直线AB的距离的最大值是．