Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求

AB+CD

GH

的值．

Answer 1

分析：（1）由点E，F分别为线段OA，OB的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=

1

2

AB，又由AB∥CD，AB=2CD，即可判定EF=CD，∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，然后利用ASA，即可证得：△FOE≌△DOC；
（2）由∠ABC=90°，AB=2BC，易求得sin∠CAB的值，又由EF∥AB，可得∠OEF=∠CAB，即可求得sin∠OEF的值；
（3）首先利用平行线分线段成比例定理，求得GE=FH=

1

3

CD，继而可求得

AB+CD

GH

的值．

解答：（1）证明：∵点E，F分别为线段OA，OB的中点，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2CD，
∴EF∥CD∥AB，EF=CD，
∴∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，
在△FOE和△DOC中，

∠OEF=∠OCD EF=CD ∠OFE=∠ODC

，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；

（2）∵∠ABC=90°，AB=2BC，
∴AC=

AB2+BC2

=

5

BC，
∴sin∠CAB=

BC

AC

=

5

5

，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∴sin∠OEF=

5

5

；

（3）∵△FOE≌△DOC，
∴OE=OC，OF=OD，EF=CD，
∵AE=OE，BF=OF，
∴AE=OE=OC，BF=OF=OD，
∴AE：AC=1：3，BF：BD=1：3，
∵EF∥CD，
∴GE：CD=AE：AC=1：3，FH：CD=BF：BD=1：3，
∴GE=FH=

1

3

CD，
∴GH=GE+EF+FH=

5

3

CD，
∵AB=2CD，
∴

AB+CD

GH

=

2CD+CD

5 3 CD

=

9

5

．

点评：此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．