Question

【题目】已知，A（0，8），B（4，0），直线y＝﹣x沿x轴作平移运动，平移时交OA于D，交OB于C．

（1）当直线y＝﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．

①是否存在t值，使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形？如果能，请直接写出相应的t值；如果不能，请说明理由．

②将△CDE沿DE翻折后得到△FDE，设△EDF与△ADE重叠部分的面积为y（单位长度的平方）．求y关于t的函数关系式及相应的t的取值范围；

（2）若点M是AB的中点，将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，请直接写出AN+MN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①t＝2或t＝﹣4+8；②y=;(2) AN+MN的最小值

【解析】

（1）求出AB直线解析式，设出移动后的直线y＝﹣x+t，当CD＝CE时，当CD＝DE时分别求出t的值；

（2）0≤t≤2时，y＝S△EFD＝﹣t2+4t；当2＜t≤4时，DF所在直线解析式为y＝x+t，得到DF⊥AB，作GP⊥DE，FQ⊥DE，由，，；

（3）N的运动轨迹在x＝﹣2的线段上，当t＝0时AN+MN最小．N（﹣2，6），AN+MN最小值．

（1）设过A（0，8），B（4，0）两点的直线解析式为y＝kx+b，

∴y＝﹣2x+8，

①直线y＝﹣x从点0出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，

此时函数解析式为y＝﹣x+t，

∴D（0，t），E（t，8﹣2t），C（t，0），

当CD＝CE时，

∴2t2＝（8﹣3t）2+t2，

∴t＝2或t＝4，

当CD＝DE时，

DE＝|8﹣2t|，CD＝t，

∴|8﹣2t|＝t，

∴t＝﹣4+8，或t＝8+4，

∵0≤t≤3，

∴t＝2或t＝﹣4+8；

②∵△CDE沿DE翻折后得到△FDE，

∴F（t，2t），

当F在直线AB上时，t＝2，

∴0≤t≤2时，

y＝S△EFD＝×（8﹣2t）t＝﹣t2+4t，

当2＜t≤4时，

DF所在直线解析式为y＝x+t，

∴DF⊥AB，

作GP⊥DE，FQ⊥DE，

∴FQ＝t，DQ＝t，GP＝2PE，DE＝8﹣2t，

∴，

∴，

；

（3）如图3：过点M作ME⊥x轴，交x轴于E点；过点M作y轴垂线，过N做x轴垂线，相交于点F；过点M做AB直线的垂线，

∵∠NMC＝∠NMG+∠CMG＝90°，

∠GMB＝∠GMC+∠CMB＝90°，

∴∠NMG＝∠CMB，

∵FH∥x轴，

∴∠CBA＝∠HMB，

∵∠FMG＝∠KMH，∠KMH+∠HMB＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，

∴∠BME＝∠KMH＝∠FMG，

∴∠CME＝∠NMF，

在Rt△NMF和Rt△CME中，MN＝MC，∠CME＝∠NMF，

∴Rt△NMF≌Rt△CME（AAS），

∴MF＝ME，

∵点M是AB的中点，

∴M（2，4），

∴ME＝MF＝4，

∴N在NF所在直线上运动，

∴N点横坐标是﹣2，

如图4：作A点关于直线x＝﹣2的对称点A'，连接A'M与x＝﹣2交点为N，

此时AN+NM的值最小；

A'（﹣4，8），

∴A'M＝；

∴AN+MN的最小值 ；