Question

（2006•宿迁）如图，抛物线y=-x²+x-2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ=AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根据抛物线的解析式求出A，B，C的坐标，然后看OA，OC，OB是否对应成比例即可；
（2）根据抛物线的对称性可知：AC=BD，四边形ABDC为等腰梯形，那么本题可分两种情况进行求解：
①当四边形APQC是等腰梯形，即四边形PQDB是平行四边形时，AC=PQ，那么QD=PB，可据此来求t的值．
②当四边形ACQP是平行四边形时，AC=PQ，那么此时AP=CQ，可据此求出t的值．
解答：解：（1）在抛物线y=-x²+x-2上，
令y=0时，即-x²+x-2=0，
得x₁=1，x₂=4
令x=0时，y=-2
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2）（3分）
∴OA=1，OB=4，OC=2
∴，
∴
又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB；

（2）设经过t秒后，PQ=AC．
由题意得：AP=DQ=t，
∵A（1，0）、B（4，0）
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x轴，点C（0，-2）
∴点D的纵坐标为-2
∵点D在抛物线y=-x²+x-2上
∴D（5，-2）
∴CD=5
∴CQ=5-t
①当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC．
t=5-t，t=2.5
②连接BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，PQ=BD=AC．
t=3-t，t=1.5，
所以，经过2.5秒或1.5秒时，PQ=AC．
点评：本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰梯形和平行四边形的性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．