Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴负半轴交于C，顶点为D．
（1）当OC=OB时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP绕点P逆时针旋转90°后，点C恰好落在抛物线上若存在，求旋转后△ACP三个顶点的坐标；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点C在y轴负半轴上移动，则△ACD与△ACB面积之比

S△ACD

S△ACB

是否为一定值？若是定值，请求出其值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据B点坐标和OB=OC得出C点的坐标，根据A、B、C三点坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）本题分两种情况：
①如图：易知：C（0，-3），D（1，-4），如果过C作x轴的平行线，交抛物线的对称轴与M，那么三角形CMD是等腰直角三角形，因此M点符合P点的要求．此时C′与D重合，因此P（1，-3），C′（1，-4），A′（-2，-5）．（求A′坐标时，设抛物线对称轴与x轴的交点为E点，过A′作抛物线对称轴的垂线设垂足为F，可以用全等三角形APE和PA′F来求出A′的坐标）
②如图：取C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，那么AC′与抛物线对称轴的交点也符合P点的条件，此时三角形CPC′是等腰直角三角形，因此∠APA′是等腰直角三角形，那么此时P（1，-2），C（2，-3），A（-1，-4）．
（3）可将A、B坐标代入抛物线的解析式中，求出a、b，a、c的关系，然后将抛物线解析式中的b、c用a替换掉，进而可用a表示出C、D的坐标，然后分别求出三角形ACB和三角形ACD的面积即可．

解答：解：（1）由题意知：OB=3，因此OC=OB=3，即C（0，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），已知抛物线过C点，则有：
a（0+1）（0-3）=-3，a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）A、C、P对应点的坐标为（-2，-5）（1，-4）（1，-3），
或（-1，-4），（2，-3），（1，-2）．

（3）y=ax²-2ax-3a（a＞0），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），
∴S_△ACB=

1

2

×4×3a=6a，
∴S_△ACD=

1

2

×1×3a+

1

2

（3a+4a）×1-

1

2

×2×4a=a，
∴

S△ACD

S△ACB

=

a

6a

=

1

6

．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形的旋转变换、图形面积的求法等知识点，综合性强，难度较大．