Question

（2006•自贡）如图，在直角三角形PMN中，∠MPN=90°，PM=PN=6 cm，矩形ABCD的长和宽分别为6 cm和3 cm，C点和P点重合，BC和PN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD向右以每秒1 cm的速度移动，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重合部分的面积为y cm²．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求重合部分面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）矩形的右移过程中，它和Rt△PMN之间重叠部分有两种情况：
①当C由P点移动到G点，D点落在MN上的F点的过程中，重叠部分的图形是矩形，此时只要根据矩形的面积公式计算重叠部分的面积即可．根据等腰三角形的性质不难判断出x的取值范围0＜x≤3．
②当3＜x≤6时，则重叠部分是五边形，这时只要用大三角形的面积减去两个小三角形的面积即可．
（2）根据y与x之间的表达式可直接判断出重合部分面积的最大值．
解答：解：（1）在矩形的右移过程中，它和Rt△PMN之间重叠部分有两种情况：（1分）
①如图1，当C由P点移动到G点，D点落在MN上的F点的过程中，重叠部分的图形是矩形，
由于△MPN是等腰Rt△，
所以△MEF也是等腰Rt△．（2分）
PC=x，MP=6，EF=ME=3
∴y=PC•CD=3x（O≤x≤3）（3分）
②如图2，当C是由G点移动到N点的过程中，即3＜x≤6时，设CD与MN交于点Q，则重叠部分是五边形EFQCP△NCQ是等腰Rt△（4分）
y=-（x-6）²+（3＜x≤6）
∴y与x之间的函数关系式为
y=

（2）当x=6时（即c与N重合时），y取得最大值（即重叠部分面积最大），其值为．
另解：直接由图形知当C与N重合时，该重叠部分面积最大，而此时重叠部分为梯形EPNF，可求得S_梯形EPNF=．
点评：此题比较简单，解答此题的关键是注意矩形在移动过程中的两种情形，根据等腰直角三角形的性质计算x的取值范围．