Question

【题目】如图，已知抛物线经过A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当AD平分∠CAB时．

①求直线AD所对应的函数表达式；

②设P是x轴上的一个动点，若△PAD与△CAD相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（2，0）或（13，0）．

【解析】

（1）将、、点坐标代入抛物线，化简计算即可；

（2）设，根据平分，，轴，求得，并证得 ∽ ，利用 可的，可得点坐标，把，代入，化简可得AD所对应的函数表达式；

因为是x轴上的一个动点，且与相似，并且是腰长为5的等腰三角形，所以 点有两种情况：AD为等腰三角形的斜边，或者以AD为腰，为底，分别讨论求解即可.

解（1）∵抛物线经过、、三点，

∴，解得：，

∴抛物线的表达式为；

（2）作于点H，如图，设．

∵平分，，轴，

∴，，

在中，．

∵

，

∴ ∽ ，

∴

∴，解得：，

∴，设直线AD的表达式为，

把，代入，

得，解得：，

∴直线AD所对应的函数表达式为；

直线AD与二次函数相交于点D，

∴解得或，

点D在第一象限，

∴点D坐标为，

∴，且，

∴是腰长为5的等腰三角形，

是x轴上的一个动点，且与相似，

∴也为等腰三角形，

如上图示，

当AD为等腰三角形的斜边时，，

∴点的坐标为；

当以AD为腰，为底时，作

点D坐标为，

∴

∴,,

∴点P的坐标为．

综上所述点P的坐标为或．