Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
（2）根据直角三角形的性质，推出AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，即AC²+BC²=25=AB²，即可确定△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值

解答：解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=

1

2

x²+bx-2上，
∴

1

2

×（-1 ）²+b×（-1）-2=0，解得b=-

3

2

∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2．
y=

1

2

x²-

3

2

x-2
=

1

2

（ x²-3x-4 ）
=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标为 （

3

2

，-

25

8

）．

（2）当x=0时y=-2，∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时，

1

2

x²-

3

2

x-2=0，∴x₁=-1，x₂=4，∴B （4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴

OM

EM

=

OC′

ED

∴

m

3 2 -m

=

2

25 8

，
∴m=

24

41

．

解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，
则

n=2 3 2 k+n=- 25 8

，
解得：

n=2 k=- 41 12

．
∴y=-

41

12

x+2．
∴当y=0时，-

41

12

x+2=0，x=

24

41

．
∴m=

24

41

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．