Question

抛物线y=-x²+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A、B，抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）试判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、B、D为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵直线y=-x+3与坐标轴的两个交点为A、B，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3）．
又∵抛物线经过点A、B，
∴，
解得
∴抛物线的解析式为y=x²+2x+3．

（2）△ABD为直角三角形．
∵抛物线y=-x²+2x+3的顶点D的坐标为（1，4），过点D作DE⊥x轴于E，DE⊥y轴于F．
∴可求BD=，AB=3，AD=2．
∴AB²+BD²=AD²．
∴△ABD为直角三角形．

（3）如图，坐标轴上存在点P，使得以点P、A、B、D为顶点的四边形是梯形．
分为三种情况：
①以AB为底边．
过点D作PD∥AB交y轴于点P．
∵可知∠ABO=45°，
∴∠DPO=45°．
∴可求PF=1．
∴PO=5．即点P（0，5）．
若过点D作P₁D∥AB交x轴于点P₁ ．
同理可求P₁坐标为（5，0）．
②以AD为底．
过点B作P₂B∥AD交x轴于点P₂ ．
利用△ADE∽△P₂BO可求出点P₂的坐标为（，0）．
③以BD为底．
过点A作P₃A∥BD交y轴于点P₃ ．
∵∠ABD=90°，
∴∠BAP₃=90°．
又∵∠BAO=45°，
∴∠P₃AO=45°．
∴AO=P₃O=3．
∴点P₃的坐标为（0，-3）．
综上所述，点P坐标分别为（5，0）或（，0）或（0，5）或（0，-3）．
分析：（1）由直线AB的解析式可求出点A、B的坐标；再由待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由（1）的抛物线解析式能求出顶点D的坐标，然后求出AB、AD、BD三边的长，据此判断△ABD的形状．
（3）应分三种情况：
①过点D作AB的平行线PD，那么点P为直线PD与x或y轴的交点；可先求出∠OPD的度数，根据这个特殊度数来求出OP的长，由此得出点P的坐标；
②过点B作AD的平行线BP，此时△OBP、△EDA（如图）相似，根据相似三角形得到的比例线段求出OP的长，据此求出点P的坐标；
③过点A作BD的平行线AP，解题思路同①．
点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、直角三角形的判定、梯形的判定等综合知识；最后一题的解题方法较多，还可以先求出另一底的直线解析式，再求出直线与坐标轴的交点即可．