Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值；
（2）当O＜t＜2时，写出△PQA的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵当P到c点时，t=5（秒），
当Q到D点时，t=8（秒），
∴点P先到达终点，此时t为5秒；

（2）如图，作BE⊥AD于点E，PF⊥AD于点F．
AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=

3

t，
∴s=

3

2

t²（0＜t＜2）；

（3）当0＜t＜2时，以PO为直径的圆与CD不可能相切．
当2≤t≤5时，设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K，
则有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位线，
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
在直角梯形PCDQ中，PO²=CD²+（DO-CP）²，
解得：t=

13± 15

2

．
∵

13+ 15

2

＞5，不合题意舍去．
2＜

13- 15

2

＜5，
因此，当t=

13- 15

2

时，以PQ为直径的圆与CD相切．