Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,勾股定理

专题：

分析：设AD、BE相交于点G，取CE的中点F，连接DF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF∥BE，DF=

1

2

BE，然后判断出GE是△ADF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GE=

1

2

DF，再求出BG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AB，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=AB，再根据BC=2BD求出BC的长度，利用勾股定理列式求出AE，然后根据AE=EF=CF求出AC，从而得解．

解答：解：如图，设AD、BE相交于点G，取CE的中点F，连接DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥BE，DF=

1

2

BE=

1

2

×4=2，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴AG=GD=

1

2

AD=

1

2

×4=2，
∴GE是△ADF的中位线，
∴GE=

1

2

DF=

1

2

×2=1，
∵BE=4，
∴BG=BE-GE=4-1=3，
在Rt△ABE中，AB=

AG2+BG2

=

22+32

=

13

，
∵BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD，
∴BE垂直平分AD，
∴BD=AB=

13

，
∵AD是△ABC的中线，
BC=2BD=2

13

，
在Rt△AEG中，AE=

AG2+GE2

=

22+12

=

5

，
∵DF是△BCE的中位线，GE是△ADF的中位线，
∴AE=EF=CF=

5

，
∴AC=3

5

．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的中线的定义，等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与各性质并作辅助线构造出中位线的三角形是解题的关键．