Question

【题目】如图，在中，，，，点在线段上，．点从点出发，沿方向运动，以为直径作，当运动到点时停止运动，设．

（1）___________，___________．（用的代数式表示）

（2）当为何值时，与的一边相切？

（3）在点整个运动过程中，过点作的切线交折线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，过作于．

①当线段长度达到最大时，求的值；

②直接写出点所经过的路径长是________．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）①；②

【解析】

（1）观察图中和的数量关系可得，而，将代入即可.

（2）与的一边相切有两种情况，先与相切，再与相切；两种情况的解答方法都是连接圆心与切点，构造直角三角形，根据条件所给的特殊角的三角函数解答.

（3）①根据旋转的性质可得，在中根据三角函数可得，故当点与点重合，取得最大值时，有最大值，解之即可.

②明显以点与点重合前后为节点，点的运动轨迹分两部分，第一部分为从开始运动到点与点重合，即图中的，根据求解；第二部分，根据为定值可知其轨迹为图中的，在中用勾股定理求解即可.

（1），

（2）情况1：与相切时，

中，∵

∴

∴解得

情况2：与相切时，

中，∵

∴即

解得

（3）①

在中，∵，，

∴，

∴当最大时即最大

当点与点重合时，的值最大．

易知此时．

在中，∵∴

∴

（3）轨迹如图：从到到

,

，

故，

到轨迹是线段理由如下：

∵，，∴．

∴为定值，

∴点的第二段的轨迹是线段．

在中，,

所以点所经过的路径长是.