Question

【题目】如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．

（1） 求证：PC是⊙O的切线；

（2） 点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么?

（3） 在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使，理由见解析；（3）4.

【解析】

（1）连结OC，证明∠OCP=90°即可；

（2）乘积的形式可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出；

（3）可以先根据勾股定理得出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．

（1）证明：连结OC

∵PC=PF，OA=OC

∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC

∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB

∴∠AHF=90°

∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°

∴PC是⊙O的切线．

（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使，理由如下：

连结AE

∵点D在劣弧AC中点位置

∴∠DAF=∠DEA

∵∠ADE=∠ADE

∴△DAF∽△DEA

∴AD∶DE=DF∶AD

∴

（3）解：连结OD交AC于G

∵OH=1，AH=2

∴OA=3

即OD=3

∴DH=

∵点D在劣弧AC中点位置

∴AC⊥DO

∴∠OGA=∠OHD=90°

在△OGA和△OHD中，

∴△OGA≌△OHD（AAS）

∴AG=DH

∴AC=4．