Question

【题目】如图，等边中，，关于轴对称，交轴负半轴于点，．

（1）如图1，求点坐标；

（2）如图2，为轴负半轴上任一点，以为边作等边，的延长线交轴于点，求的长；

（3）如图3，在（1）的条件下，以为顶点作的角，它的两边分别与、交于点和，连接．探究线段、、之间的关系，并子以证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3），证明详见解析

【解析】

(1)先证∠ACO＝30°，在Rr△ACO中由勾股定理求出AC的长，再在Rt△ACD中求出CD的长，即可求出OD的长，进步写出点D坐标；

(2)证△FCA9≌△ECB，求出∠GAO＝60°，再证△CAO2△GAO，即可得到OG＝OC＝6；

(3)如图3，延长MA至点H，使AH＝BN，连接BD，先证△DAH≌△DBN，再证△DMI≌△DMN，即可推出AM+BN＝MN.

（1）(1)△ABC为等边三角形，A，B关于y轴对称，C(0，6),

∵

∴

在中设则，

∵，

∴，

解得，(取正值)，

∴

∵

∴在中，设则，

∵

解得，(取正值)

∴，

∴，

∴；

（2）、均为等边三角形

，，

，即

在和中

，平分

．

（3），证明如下：

如图，延长至点，使，连接、，

由题意得：，

在和中

，

，

又

，即

在和中

．