Question

18．已知x₁，x₂是方程x²+5x+2=0的两个实数根，求下列代数式的值：
①x₁²+x₂²；
②|x₁-x₂|；
③（2x₁+1）（2x₂+1）；
④$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
⑤$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$；
⑥$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$+$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$．

Answer 1

分析 由x₁，x₂是方程x²+5x+2=0的两个实数根，可得x₁+x₂=-5，x₁•x₂=2，再将①②③④⑤⑥6个算式变形为只含x₁+x₂与x₁•x₂的算式，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²+5x+2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-5，x₁•x₂=2．
①x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=（-5）²-2×2=21；
②|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{（-5）^{2}-4×2}$=$\sqrt{17}$；
③（2x₁+1）（2x₂+1）=4x₁•x₂+2（x₁+x₂）+1=4×2+2×（-5）+1=-1；
④$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（-5）^{2}-2×2}{2}$=$\frac{21}{2}$；
⑤$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{-5}{2}$=-$\frac{5}{2}$；
⑥$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$+$\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=$\sqrt{（\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+2}$=$\sqrt{\frac{21}{2}+2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出x₁+x₂=-5，x₁•x₂=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．