分析 (1)根据三角形的中位线定理,即可证明四边形EFGH的两组对边分别平行,即为平行四边形,然后根据平行线证明有一个角是直角,即可依据矩形的定义得出结论;
(2)根据菱形的性质可得,菱形的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD,由三角形中位线定理可得,EH=$\frac{1}{2}$AC,EF=$\frac{1}{2}$BD,根据四边形EFGH是矩形,可求得矩形的面积.
解答 (1)证明:∵F、E是AB和AD的中点,即EF是△ABD的中位线,
∴BD∥EF,
同理可得:EH∥AC,HG∥BD,FG∥AC,
∴EH∥FG,且EF∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴EH⊥HG,
即∠EHG=90°,
∴平行四边形EFGH是矩形;
(2)解:∵菱形ABCD的面积是50,
∴$\frac{1}{2}$×AC×BD=50,
又∵F、E、H是AB、AD、CD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,EH是△ACD的中位线,
∴EH=$\frac{1}{2}$AC,EF=$\frac{1}{2}$BD,
∴矩形EFGH的面积=EF•EH=$\frac{1}{2}$AC×$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×50=25.
点评 本题以中点四边形为背景,主要考查了三角形的中位线定理以及矩形的判定方法,正确理解矩形的判定方法是关键.解答该时注意:菱形面积=$\frac{1}{2}$ab(其中a、b是两条对角线的长度).
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