Question

【题目】已知二次函数（，为常数）.

（1）当，时，求二次函数的最小值；

（2）当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

（3）当时，若在自变量的值满足≤≤的情况下，与其对应的函数值的最小值为21，求此时二次函数的解析式.

Answer 1

【答案】（1）二次函数取得最小值-4；（2）或；

（3）或．

【解析】

（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为，把这个解析式化为顶点式利用二次函数的性质即可求最小值．

（2）当c=5时，二次函数的解析式为,又因函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，说明方程有两个相等的实数根，利用即可解得b值，从而求得函数解析式．

（3）当c=b2时，二次函数的解析式为，它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即＜b；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即＞b+3，根据列出的不等式求得b的取值范围，再根据x的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y的最小值为21可列方程求b的值（不合题意的舍去），求得b的值代入也就求得了函数的表达式．

解：（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为，即．

∴当x=-1时，二次函数取得最小值-4．

（2）当c=5时，二次函数的解析式为．

由题意得，方程有两个相等的实数根．

有，解得，

∴此时二次函数的解析式为或．

（3）当c=b2时，二次函数的解析式为．

它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．

①若＜b时，即b＞0，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，

故当x=b时，为最小值．

∴，解得，（舍去）．

②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0，

当x=时，为最小值．

∴，解得（舍去），（舍去）．

③若＞b+3，即b＜-2，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小，

故当x=b+3时，为最小值．

∴，即

解得（舍去），．

综上所述，或b=-4．

∴此时二次函数的解析式为或．