Question

如图，AC平分∠DAB，AB＞AD，CB=CD，CE⊥AB于点E．
（1）求证：AB=AD+2EB；
（2）若AD=9，AB=21，AC=17，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）延长线段AD，过C作CF垂直于AF，又CE垂直于AB，且AC为角平分线，根据角平分线定理得到CF=CE，又CD=CB，利用HL即可得到直角三角形FDC与直角三角形ECB全等，根据全等三角形的对应边相等得到FD=EB，再由CF=CE，AC为公共边，利用HL得到直角三角形ACF与直角三角形ACB全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF=AE，由AF=AD+DF，等量代换即可得证；
（2）由AD和AB的长，根据（1）证明的结论，求出EB的长，再由AE=AB-EB，求出AE的长，在直角三角形ACE中，由AE和AC的长，利用勾股定理求出CE的长，再在直角三角形CEB中，由CE和EB的长利用勾股定理求出CB的长，即为CD的长．

解答：（1）证明：延长线段AD，过C作CF⊥AD交AD得延长线于F，
∵AC为∠DAE的平分线，CE⊥AB，CF⊥AF，
∴CE=CF，
在Rt△CFD和Rt△CEB中

CF=CE CD=CB

，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴FD=EB，
又在Rt△CFA和Rt△CEA中

CF=CE AC=AC

，
∴Rt△CFA≌Rt△CEA（HL），
∴AF=AE，
则AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+EB=AD+2EB；

（2）解：∵AD=9，AB=21，
由（1）得AB=AD+2EB，代入得9+2EB=21，
解得EB=6，
∴AE=AB-EB=21-6=15，又AC=17，
在Rt△ACE中，根据勾股定理得：
CE=

AC2-AE2

=

172-152

=8，
在Rt△CEB中，根据勾股定理得：
CB=

CE2+EB2

=

62+82

=10，
所以CD=CB=10．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定理以及勾股定理，对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径，构造过程中要不断的转化问题或转换思维的角度，会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性．遇到角平分线常常过角平分线上的点作角两边的垂线，进而利用角平分线定理解决问题，作出辅助线是本题的突破点．