Question

7．定义感知：我们把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，如图所示的抛物线y₁=x²+2x+2与y₂=x²-2x+2是一对“孪生抛物线”．
初步运用：
（1）判断下列论断是否正确？正确的在题后括号内打“√”，错误的则打“×”；
①“孪生抛物线”的两对称轴一定关于y轴对称．（√）
②“孪生抛物线”的开口方向不一定相同．（×）
（2）填空：抛物线y=2x²-4x-1的“孪生抛物线”解析式为y=2x²+4x-1．
延伸拓展：在平面直角坐标系中，记“孪生抛物线”的两顶点分别为M，M′，且MM′=4，“孪生抛物线”与y轴的交点A（0，1）到线段MM′的距离为2个单位长度，试求该“孪生抛物线”的解析式．

Answer 1

分析 初步运用：（1）①根据“孪生抛物线”的定义即可求解；
②由“孪生抛物线”的意义判断即可；
（2）由“孪生抛物线”的顶点关于y轴对称，所以把解析式化成顶点式，求出其“孪生抛物线”；
延伸拓展：由于MM′=4，“孪生抛物线”与y轴的交点A（0，1）到线段MM′的距离为2个单位长度，可得M（2，-1），M′（-2，-1），或M（2，3），M′（-2，3），其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，①开口向上时，求出M（-2，3），M′（2，3），设出“孪生抛物线”把共点A（0，1）代入即可求解．

解答 解：初步运用：
（1）①∵把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，
∴“孪生抛物线”的两对称轴一定关于y轴对称；
②“孪生抛物线”的开口方向一定相同，原来的说法是错误的．
（2）∵抛物线y=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴它的“孪生抛物线”为y=2（x+1）²-3=2x²+4x-1，
延伸拓展：∵MM′=4，
∴M（2，y），M′（-2，y），
∵“孪生抛物线”与y轴的交点A（0，1）到线段MM′的距离为2个单位长度，
∴M（2，-1），M′（-2，-1），或M（2，3），M′（-2，3），
∴由此可设“孪生抛物线”的解析式为：y=a（x+2）²-1与y=a（x-2）²-1，
∵点A（0，1）在“孪生抛物线”的图象上，
∴1=a×2²-1，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴“孪生抛物线”的解析式为：y=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1与y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1；
由此可设“孪生抛物线”的解析式为：y=a（x+2）²-3与y=a（x-2）²-3，
∵点A（0，1）在“孪生抛物线”的图象上，
∴1=a×2²-3，
∴a=1，
∴“孪生抛物线”的解析式为：y=（x+2）²-3与y=（x-2）²-3．
故答案为：√；×；y=2x²+4x-1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义的理解和掌握，二次函数的性质，解决二次函数的方法一样，解本题的关键是掌握“孪生抛物线”的定义．