[题目]已知.在平面直角坐标系中.点为坐标原点.直线与轴的正半轴交于点A.与轴的负半轴交于点B. .过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C.直线OC的解析式为.过点C作轴.垂足为．(1)如图1.求直线的解析式,(2)如图2.点N在线段上.连接ON.点P在线段ON上.过P点作轴.垂足为D.交OC于点E.若.求的值,(3)如图3.在(2)的条件下.点F为线段AB上一点.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，，过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为，过点C作轴，垂足为．

（1）如图1，求直线的解析式；

（2）如图2，点N在线段上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作轴，垂足为D，交OC于点E，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作轴的平行线交BQ于点G，连接PF交轴于点H，连接EH，若，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据题意求出A，B的坐标即可求出直线AB的解析式；

（2）求出N（3,9），以及ON的解析式为y=3x，设P（a，3a），表达出PE及OD即可解答；

（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，先证明四边形OSRA为矩形，再通过边角关系证明△OFS≌△FQR，得到SF=QR，进而证明△BSG≌△QRG，得到SG=RG=6，设FR=m，根据，以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH，利用正切函数的定义得到，从而得到DH=，根据∠PHD=∠FHT，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT，列出关于a的方程即可求出a的值，从而得到点P的坐标．

解：（1）∵CM⊥y轴，OM=9，

∴当y=9时，，解得：x=12，

∴C（12,9），

∵CA⊥x轴，则A（12,0），

∴OB=OA=12，则B（0，-12），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴，解得：，

∴；

（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，

∴四边形MOAC为矩形，

∴MC=OA=12，

∵NC=OM，

∴NC=9，则MN=MC-NC=3，

∴N（3,9）

设直线ON的解析式为，

将N（3，9）代入得：，解得：，

∴y=3x，

设P（a，3a）

∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D，

∴，，

∴PE=，OD=a，

∴；

（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，

∵GF∥x轴，

∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，

∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，

则四边形OSRA为矩形，

∴OS=AR，SR=OA=12，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，

∴∠FAR=∠AFR，

∴FR=AR=OS，

∵QF⊥OF，

∴∠OFQ=90°，

∴∠OFS+∠QFR=90°，

∵∠SOF+∠OFS=90°，

∴∠SOF=∠QFR，

∴△OFS≌△FQR，

∴SF=QR，

∵∠SFB=∠AFR=45°，

∴∠SBF=∠SFB，

∴BS=SF=QR，

∵∠SGB=∠RGQ，

∴△BSG≌△QRG，

∴SG=RG=6，

设FR=m，则AR=m，

∴QR=SF=12-m，

∴AF=，

∵，

∴GQ=，

∵QG2=GR2+QR2，即，解得：m=4，

∴FS=8，AR=4，

∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，

∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，

∴四边形OSFT为矩形，

∴OT=FS=8，

∵∠DHE=∠DPH，

∴tan∠DHE=tan∠DPH，

∴，

由（2）可知，DE=，PD=3a，

∴，解得：DH=，

∴tan∠PHD=，

∵∠PHD=∠FHT，

∴tan∠FHT=，

∴HT=2，

∵OT=OD+DH+HT，

∴，

∴a=，

∴

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