Question

【题目】如图1，抛物线与两条坐标轴分别交于，，三点．其中，且．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点是轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点，分别是线段，上的动点，连接，，当时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，，，；（3）

【解析】

（1）根据，且，得到点A的坐标，代入A和C的坐标即可求解；

（2）该平行四边形以点，，，为顶点，以为边，且Q在x轴上，设点的坐标为，根据平行四边形的性质可得，求解即可；

（3）由得到平分，故过点分别作于，于，可得，并可用含m的代数式表示线段长度，通过证明得到，对应线段成比例可求得m的值，再证明，并表示各自的正切值，即可求解．

（1）∵，∴，

∵，

∴

代入可得：，

解得：，∴．

（2）存在，设点的坐标为，依题意有

当时，解得，(舍去)，

∴

当时，解得，，

∴，，

（3）抛物线，

当时，，解得：，，∴，

∵，∴，，∴平分，

过点分别作于，于，∴

∵，∴，

∴是等腰直角三角形，

设，则，，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

解得：，∴，

设直线的解析式为，易得，

，过点作轴于．

∵，，∴，

∵，

∴，

解得：，，

∴．