Question

【题目】已知直线与轴相交于点A，与轴相交于点B．点C在轴上运动，作CD⊥AB，垂足为D．点E为轴上一动点，点E关于CD中点的中心对称点为点F．设点C的坐标为(0，n)．

（1）用n表示线段CD的长；

（2）当OC＝1时，若点F落在直线y轴上，求此时点E的坐标；

（3）在点E的运动过程中，若存在唯一的位置，使得四边形CEDF为矩形，请直接写出点C的坐标

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）C的坐标为(0，0)或(0，)或(0，)或(0，)

【解析】

（1）先求出A，B坐标，然后表示出BC，OA，BA，再证明△BCD∽△BAO，得出，即可求出CD；

（2）先求出CD的解析式，然后联立CD和AB的解析式得出D的坐标为，设CD的中点为G，得出G的坐标为（），然后根EF关于G对称，且F在y轴，可求出答案；

（3）根据题意得要想让四边形CEDF为矩形，则有C，E，D，F四点共圆，可推出四种情况①点C与点O重合；②点C在线段OB上；③点D与点A重合；④点C在y负半轴上，且以CD为直径的圆与x轴相切，分别讨论即可．

解：（1）由题意可求出直线与轴相交于点A的坐标为（-3，0），与轴相交于点B的坐标为（0，4），

∵点C的坐标为(0，n)，

∴BC=4-n，OA=3，BA=5，

∵CD⊥AB，∠DBC=∠ABO，

∴△BCD∽△BAO，

∴，

∴，

∴；

（2）∵OC=1，

∴C（0，1），

∵CD⊥AB，

∴kCD·kAB=-1，

∵kAB=，

∴kCD=，

∴设CD的解析式为y=x+b，

将C代入得b=1，

∴CD的解析式为y=x+1，

联立CD和AB的解析式得：，

解得：，

∴D的坐标为（），

设CD的中点为G，

∴G的坐标为（），

∵EF关于G对称，且F在y轴，

∴xG-xE=0-xG，

xE=，

∴；

（3）要想让四边形CEDF为矩形，

根据矩形的性质可知这四点共圆，圆心为CD中点G，

如图，可得出四种情况，

①点C与点O重合，此时C的坐标为(0，0)；

②点C在线段OB上，此时以CD为直径的圆与x轴相切，

设CD的解析式为：y=x+n，

联立CD和AB的解析式可得D的坐标为（），

∴点G的坐标为（），

∵以CD为直径的圆与x轴相切，

∴GE⊥x轴，

∴点E的横坐标与点G相同，

∴E的坐标为（，0），

∵CD=GE，

∴可得×=，

解得n=，

∴C的坐标为(0，)；

③点D与点A重合，

此时D的坐标为（-4，0），E的坐标为（0，0），

∵四边形CEDF是矩形，

∴根据勾股定理可得=，

解得n=

∴C的坐标为：(0，)；

④点C在y负半轴上，且以CD为直径的圆与x轴相切，

由②可得此时×=-，

解得n=，

∴C的坐标为：(0，)；

综上，C的坐标为：(0，0)或(0，)或(0，)或(0，)．