Question

5．已知圆的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D（AD＞BD）
（1）求证：CD²=AD•DB；
（2）若CD=6，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC，证明△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结果；
（2）由CD²=AD•DB和已知条件得出6²=AD（13-AD），解方程即可．

解答 （1）证明：连接AC、BC，如图所示：
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，
∴CD²=AD•DB．
（2）解：∵CD²=AD•DB，DB=AB-AD=13-AD，
∴6²=AD（13-AD），
解得：AD=9，或AD=4（不合题意，舍去），
即AD的长为9．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解本题的关键．