Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．

正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴ ∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．本试卷锡     

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）证明略

（2）证明略

【解析】解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=135°,

            ∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

            在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

    （2）仍然成立．

        在边AB上截取AE=MC，连接ME

        ∵△ABC是等边三角形，

        ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

        ∴∠ACP=120°．

        ∵AE=MC，∴BE=BM

        ∴∠BEM=∠EMB=60°

        ∴∠AEM=120°．

        ∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

        ∴∠AEM=∠MCN=120°

        ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

        ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN