Question

如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行．吃到上底面上与A点相对的B点处的食物（π的近似值取3，以下同）．
（1）当圆柱的高h=12厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少；
（2）当圆柱的高h=3厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程是多少；
（3）探究：当圆柱的高为h，圆柱底面半径为r时，蚂蚁怎样爬行的路程最短，路程最短为多少？

Answer 1

将圆柱体展开，连接AB，
∵底面半径r=3厘米，
∴CB=

1

2

×2π×3=3π≈9厘米，
∵圆柱的高h=12厘米，即AC=12厘米，
∴AB=

AC2+CB2

=

122+92

=15厘米．
答：蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是15厘米．
（2）当蚂蚁沿侧面爬行同（1）的方法：
∵AC=3，

BC

=3π≈9，
∴AB=

90

=3

10

．
当蚂蚁沿AC到上底面，再沿直径CB爬行，有AC+BC=3+6=9．
因为

90

＞9，
所以最短路程是经AC到上底面，再沿直径CB爬行的总路程为9．
（3）在侧面，沿AB爬行时，S₁=

h2+π2r2

，沿AC再经过直径CB时，
则S₂=h+2r．
当S₁=S₂时，

h2+π2r2

=h+2r．
整理，得4h=（π²-4）r，由于π取3，
所以4h≈5r．
当h≈

5

4

r时，两种爬行路程一样．
当S₁＞S₂时，

h2+π2r2

＞h+2r，整理，得4h＜（π²-4）r
当π取3时，有h＜

5

4

r，所以当h＜

5

4

r时，沿AC再经过直径CB到点B时所走路程最短．
同理，当h＞

5

4

r时，沿侧面AB走路程最短．
当h＜

5

4

r时，沿AC到CB走路程最短为h+2r．
当h＜

5

4

r时，沿侧面AB走或沿AC到CB走路程一样长为

h2+9r2

或h+2r．
当h＜

5

4

r时，沿侧面AB走路程最短为

h2+9r2

．
当h＜

5

4

r时，沿AC到CB走路程最短为h+2r．