Question

【题目】教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.

线段垂直平分线

我们已知知道线段是轴对称图形，线段的垂直一部分线是线段的对称轴，如图直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、，将线段与直线对称，我们发现与完全重合，由此都有：线段垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.

已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点.

求证：.

图中的两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明（请写出完整的证明过程）

请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程，定理应用.

（1）如图②，在中，直线、、分别是边、、的垂直平分线.

求证：直线、、交于点.

（2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，，则的长为_______.

Answer 1

【答案】教材呈现：详见解析；定理应用：（1）详见解析；（2）6.

【解析】

教材呈现： 得到，从而

定理应用：（1）连结、、．设直线、交于点．因为直线是边的垂直平分线，所以 又因直线是边的垂直平分线， 得到 点在边的垂直平分线上．得到直线、、交于点． （2）

连接BD，BF，易知AD=DB，BE=EC；又因为∠A=∠C=30°，得到∠DBE=60°，所以∠ABD=30°，得到∠BDE=60°，所以△BED为等边三角形，所以DE=AC=6

教材呈现：

，

又

．

图① 图②

定理应用：

（1）连结、、．

设直线、交于点．

直线是边的垂直平分线，

又直线是边的垂直平分线，

点在边的垂直平分线上．

直线、、交于点．

（2）如图3，连接BD,BF

由第一问可知，AD=DB，BE=EC，∠A=∠DBA，∠C=∠CBE

∵AB=AC

∴∠A=∠C

∵∠ABC=120°

∴∠A=∠C=30°

∴∠A=∠DBA=∠C=∠CBE=30°

∴∠BDE=∠A+∠ABD=60°，∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=60°

∴△DBE是等边三角形

∴DB=BE=DE

∴AD=DE=EC

∴DE=AC=6