Question

已知⊙O的半径为3，⊙O的切线长AB为6，B为切点，则点A到⊙O上的最短距离是m，最长距离是n，则m+n=

6

5

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，找出点A到圆O的最短距离m和最长距离n，根据切线的性质可知圆的切线垂直于经过切点的半径得到AB⊥OB，即三角形AOB为直角三角形，然后根据勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后利用m的值加上圆的直径就可以得到最长距离n的值，进而求出m+n的值．

解答：解：由题意可知AC为点A到⊙O上的最短距离是m，AD为最长距离是n，
∵AB为圆O的切线，且B为圆O的切点，
∴AB⊥OB，
又OB=3，AB=6，AC=m，
∴AO=m+3，
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：（m+3）²=3²+6²，
解得m=3

5

-3，
所以AD=n=AC+CD=3

5

-3+6=3

5

+3，
则m+n=3

5

-3+3

5

+3=6

5

，
故答案为：6

5

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．本题的关键是根据题意画出图形，找出点A到圆O的最短距离和最长距离．