Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，边上有一点，且、两点之间的距离为.

(1)求的坐标(用含有的式子表示)；

(2)如图(1)，若点在线段上运动，点在轴的正半轴上运动.当的值最小时，.

问：的面积是否为定值，若是，求其值；若不是，请说明理由.

(3)如图(2)，若在外还有一点，连接、、、，，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）（m-6,0）；（2）是定值为25，理由见解析（3）12

【解析】

（1）根据，且、两点之间的距离为，即可写出的坐标；

（2）作出点E关于y轴的对称点E’，得到PE=PE’，E’为定点，P、F为动点，过E’作E’F⊥AB，交y轴于点P，此时PE+PF=E’F，E’F为点E’到AB的距离，为最小，若BF=7，△BFE’为直角三角形，根据∠B=60°得到BE’=14,EE’=8,OE=4,OB=10,即可求解△ABO的面积；

（3）将△ABD旋转60°到△AOE，得到OE=BD=15,△AED为等边三角形，得到DE=AD=9,∠ADE=60°，再得到∠EDO=90°，利用勾股定理即可求解.

（1）∵，且、两点之间的距离为，

∴的坐标为（m-6,0）；

（2）作出点E关于y轴的对称点E’，

∴PE=PE’，

∵E（m,0）

∴E’为定点，P、F为动点，过E’作E’F⊥AB，交y轴于点P，此时PE+PF=E’F，

E’F为点E’到AB的距离，为最小，

若BF=7，△BFE’为直角三角形，

∵∠B=60°∴∠BE’F=30°，

∴BE’=14,

∵BE=6

∴EE’=8,

∴OE=4,

则OB=10,

∴S△ABO===25；

（3）将△ABD旋转60°到△AOE，

∴△ABD≌△AOE，

∴OE=BD=15,

∵AD=AE,∠EAD=60°，

∴△AED为等边三角形，得到DE=AD=9,∠ADE=60°，

∵

∴∠EDO=∠ADE +∠ADO= 90°，

∴OD=