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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，精英家教网使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．
    （1）设AQ=x，△APQ面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
    （2）若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，求AQ的长；
    （3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．
    分析：（1）设AQ=x，即可利用x表示出AP的长，然后根据△APQ的面积=
    1
    2
    AQ•AP•sin∠QAP，即可求解；
    （2）过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PC=PF，直角三角形APF中根据边角关系即可求解；
    （3）△AQM、△APQ和△APM这三个三角形有两个三角形相似，即可分成3种情况进行讨论，再根据sin∠QPA=
    PF
    AP
    ，即可得到关于AQ的方程，从而求解．
    解答：精英家教网解：（1）如图1过点Q作QH⊥AC，垂足为H，（1分）
    ∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，
    ∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
    ∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°，
    ∴在直角三角形AQH中sin60°=
    QH
    AQ
    ，
    ∴QH=
    		3
    2
    x    ．（1分）
    ∵AQ=2PC，AC=4，
    ∴PC=
    1
    2
    x    AP=4-
    1
    2
    x    ，（1分）
    ∴S△AQP=
    1
    2
    AP•QH    ，
    ∴y=
    1
    2
    （4-x）•
    		3
    2
    x=-
    		3
    8
    x2+
    		3
    x（0＜x≤4）；
    （2）如图2过点P作PF⊥AB，垂足为F．（1分）精英家教网
    ∵以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，
    ∴PC=P．F（1分）
    在直角三角形APF中，sin30°=
    PF
    AP
    ，
    ∴
    1
    2
    =
    1
    2
    x
    4-
    1
    2
    x
    ，
    ∴x=
    8
    3
    ．（2分）
    即：若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，则AQ的长为
    8
    3
    ；

    （3）假设存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．
    ①如图3，当△AQM与△APQ相似时，
    ∵∠AQM=∠PQA，∠QAM≠∠QAP，
    ∴∠QAM=∠QPA=30°，
    ∴∠PQA=90°，
    ∴sin∠QPA=
    AQ
    AP
    1
    2
    =
    x
    4-
    1
    2
    x
    ，
    ∴x=
    8
    5
    ；（2分）
    ②当△APQ与△APM相似时，
    ∵∠APQ=∠APM，∠QAM≠∠QAP，
    ∴∠PAM=∠PQA=30°，
    ∴∠QPA=90°，
    ∴sin∠PQA=
    AP
    AQ
    1
    2
    =
    4-
    1
    2
    x
    x
    ，
    ∴x=4；（2分）
    ③如图4，当△AQM与△APM相似时，精英家教网
    ∵∠QAM=∠PAM=30°，∠AQM≠∠AMP，
    ∴∠AQM=∠APM，
    ∴AQ=AP，
    ∴x=4-
    1
    2
    x    ，
    ∴x=
    8
    3
    ．（1分）
    ∴当AQ为
    8
    5
    或4或
    8
    3
    时，△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．
    点评：本题主要考查了旋转的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确进行讨论，利用sin∠QPA=
    PF
    AP
    这一关系是解题的关键．
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    精英家教网如图，在直角三角形中，一直角边比另一直角边长1，且斜边长为5．
    （1）请画出这个直角三角形的内切圆；
    （2）并求出此内切圆的半径．

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    精英家教网如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的垂线，AE为角平分线，AF为中线，
    （1）证明：AF=BF=CF；
    （2）写出∠FAE和∠DAE的关系并证明你的结论．

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    精英家教网如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，阴影部分的面积为（　　）
    A、2πB、3πC、4πD、6π

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    9、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=
    5cm或10cm
    时，才能使△ABC和△APQ全等．

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