Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠B=90°，∠C=60°，AD=CD，点E在射线BC上，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与射线CD交于点M．
（1）当点M在CD边上时（如图a），求证：FM一DM=

3

3

AB
（2）当点E在BC边的延长线上时（如图b），线段FM、DM、AB的数量关系

DM-FM=

3

3

AB

（3）在（2）的条件下，过A点作AG⊥CM，垂足为点G，设直线BG与直线AM交于点N，若AD=6，FM=1，求GN的长

Answer 1

分析：（1）利用过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AG，AM，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（2）首先连接AM，AC，作AG⊥MC于点G，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（3）首先利用勾股定理得出BE与CE的长，进而利用利用相似三角形的判定得出△AGN∽△ACE，即可得出GN的长．

解答：解：（1）过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AG，AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴FM-DM=

3

3

AB；

（2）连接AM，AC，作AG⊥MC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AB⊥BC，AG⊥MC，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM-DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴DM-FM=

3

3

AB，
故答案为：DM-FM=

3

3

AB；

（3）连接AC，过点M作MH⊥BC于H，过点D作DK⊥BC于K，
∵AD=6，FM=1，
∴KC=3，DK=3

3

，AB=3

3

，BC=9，
又∵（2）知：DM-FM=

3

3

AB，
∴DM=

3

3

×3

3

+1=4，
∴MC=10，HC=5，MH=5

3

，BH=4，
设BE=x，则FE=x，ME=x-1，HE=x-4，
∵MH²+HE²=ME²，
∴（5

3

）²+（x-4）²=（x-1）²，
  解得：x=15，
∴BE=15，CE=6，
∵∠BCG=60°，
∴∠ECG=120°，
由（1）知Rt△AMG≌Rt△AMF，∠BCA=∠ACG=30°，
∴∠MAG=∠MAF，设∠BAE=m°，∠FAM=n°，则∠BAF=m°，∠GAF=2n°，
∴2m-2n=120°，m-n=60°，
∴∠EAM=60°，
又∵∠CAG=60°，
∴∠GAN=∠CAE，
∵∠AGN=∠ACE=150°，
∴△AGN∽△ACE，
∵AG=

1

2

AC，
∴

GN

CE

=

AG

AC

=

1

2

，
∴GN=

1

2

CE=3．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出全等三角形与相似三角形是解题关键．