Question

已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）求证：∠AEH=∠CGF；
（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积．

Answer 1

分析：（1）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；
（3）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．

解答：（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，

HG=HE DG=AH

，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形，
∴∠EHG=90°；

（2）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；
（3）由（2）得到∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，

∠A=∠M=90° ∠AEH=∠FGM HE=FG

，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM（AAS），
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x，
∴S_△FCG=

1

2

CG•FM=6-x．

点评：本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．