Question

8．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论：
①AE=6cm；②sin∠EBC=$\frac{4}{5}$；③当0＜t≤10时，y=$\frac{2}{5}$t²；④当t=12s时，△ABP是等腰三角形； 
其中正确的结论是（　　）

• A． ②③④
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：
（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；
（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；
（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．

解答 解：（1）分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm，故①正确；
（2）如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，
由函数图象可知，BC=BE=10cm，S_△BEC=40=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10×EF，∴EF=8，
∴sin∠EBC=$\frac{EF}{BE}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，故②正确；
（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PG=$\frac{1}{2}$BQ•BP•sin∠EBC=$\frac{1}{2}$t•t•$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$t²．
故③正确；
（4）结论D错误．理由如下：
当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8$\sqrt{2}$，NC=2$\sqrt{17}$，
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．
故④错误；
正确的结论有：①②③．
故选：B．

点评 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．